【題目】已知,在△ABC和△EFC中,∠ABC=∠EFC=90°,點(diǎn)E在△ABC內(nèi),且∠CAE+∠CBE=90°
(1)如圖1,當(dāng)△ABC和△EFC均為等腰直角三角形時(shí),連接BF,
①求證:△CAE∽△CBF;
②若BE=2,AE=4,求EF的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)△ABC和△EFC均為一般直角三角形時(shí),若=k,BE=1,AE=3,CE=4,求k的值.
【答案】(1)①見解析;②2;(2)
【解析】
(1)①先判斷出∠BCF=∠ACE,再判斷出,即可得出結(jié)論;
②先判斷出∠CBF=∠CAE,進(jìn)而判斷出∠EBF=90°,再求出BF=2,最后用勾股定理求解即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出∠BCF=∠ACE,再判斷出,進(jìn)而判斷出△BCF∽△ACE,進(jìn)而表示出BF=,再表示出EF=,最后用勾股定理得,BE2+BF2=EF2,建立方程求解即可得出結(jié)論.
解:(1)①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,
∴∠ECF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACE,
∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,
∴CE=CF,AC=CB,
∴=,
∴,
∴△BCF∽△ACE;
②由①知,△BCF∽△ACE,
∴∠CBF=∠CAE,=,
∴BF=AE=×4=,
∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
即:∠EBF=90°,
根據(jù)勾股定理得,EF=;
(2)如圖(2),連接BF,
在Rt△ABC中,tan∠ACB==k,
同理,tan∠ECF=k,
∴tan∠ACB=tan∠ECF,
∴∠ACB=∠ECF,
∴∠BCF=∠ACE,
在Rt△ABC中,設(shè)BC=m,則AB=km,
根據(jù)勾股定理得,AC=;
在Rt△CEF中,設(shè)CF=n,則EF=nk,同理,CE=,
∴,,
∴,
∵∠BCF=∠ACE,
∴△BCF∽△ACE,
∴∠CBF=∠CAE,
∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
即:∠EBF=90°,
∵△BCF∽△ACE,
∴
∴BF=AE=
∵CE=4,
∴,
∴n=,
∴EF=,
在Rt△EBF中,根據(jù)勾股定理得,BE2+BF2=EF2,
∴12+()2=()2,
∴k=或k=(舍),
即:k的值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=m,E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE,作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F.
(1)若m=6,①當(dāng)點(diǎn)F恰好落在∠BCD的平分線上時(shí),求BE的長(zhǎng);
②當(dāng)E、C重合時(shí),求點(diǎn)F到直線BC的距離;
(2)當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離d滿足條件:2﹣2≤d≤2+4,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(7分)某中學(xué)1000名學(xué)生參加了”環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽“,為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并制作了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整且局部污損,其中“■”表示被污損的數(shù)據(jù)).請(qǐng)解答下列問題:
成績(jī)分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合計(jì) | ■ | 1 |
(1)寫出a,b,c的值;
(2)請(qǐng)估計(jì)這1000名學(xué)生中有多少人的競(jìng)賽成績(jī)不低于70分;
(3)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng),求所抽取的2名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上從點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿折線C→D→A運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),△BPQ的面積為S(cm2),則描述S(cm2)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:如圖①,P是⊙O外的一點(diǎn),直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B,可以發(fā)現(xiàn)PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離.
(1)直接運(yùn)用:如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,則AP的最小值是 .
(2)構(gòu)造運(yùn)用:如圖③,在邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,請(qǐng)求出A′C長(zhǎng)度的最小值.
(3)綜合運(yùn)用:如圖④,平面直角坐標(biāo)系中,分別以點(diǎn)A(﹣2,3),B(3,4)為圓心,分別以1、2為半徑作⊙A、⊙B,M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,過點(diǎn)A作直線MN,且∠MAC=∠ABC.
(1)求證:MN是⊙O的切線.
(2)設(shè)D是弧AC的中點(diǎn),連結(jié)BD交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.
①求證:FD=FG.
②若BC=3,AB=5,試求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為倡導(dǎo)“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具.如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖,車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm,60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長(zhǎng)為20cm,車輪半徑28cm,點(diǎn)A,C,E在同一條直線上,且∠CAB=75°,如圖2
圖1 圖2
(1)求車座點(diǎn)E到地面的距離;(結(jié)果精確到1cm)
(2)求車把點(diǎn)D到車架檔直線AB的距離.(結(jié)果精確到1cm).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況,鄭老師對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期一個(gè)月的跟蹤調(diào)查,他將調(diào)查結(jié)果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:不達(dá)標(biāo),并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)C類女生有 名,D類男生有 名,將上面條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“課前預(yù)習(xí)不達(dá)標(biāo)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是 ;
(3)為了共同進(jìn)步,鄭老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)機(jī)抽取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一男一女同學(xué)的概率,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A 和點(diǎn) C 分別在x 軸和 y 軸的正半軸上,OA=6,OC=4,以 OA,OC 為鄰邊作矩形 OABC, 動(dòng)點(diǎn) M,N 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別從點(diǎn) A、C 同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn) M 沿 AO 向終點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng),點(diǎn) N沿 CB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了 t 秒時(shí),過點(diǎn) N 作NP⊥BC,交 OB 于點(diǎn) P,連接 MP.
(1)直接寫出點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ,直線 OB 的函數(shù)表達(dá)式為 ;
(2)記△OMP 的面積為 S,求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式;并求 t 為何值時(shí),S有最大值,并求出最大值.
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