Question

3．如圖，在正方形ABCD中，CD=$\sqrt{2}$，若在線段AD上方有一點(diǎn)P，滿足PD=1，且∠BPD=90°，則點(diǎn)A到BP的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 條件不足，無(wú)法計(jì)算

Answer 1

分析 以D為圓心1為半徑作⊙D，過(guò)點(diǎn)B作⊙D的切線BP、BP′，連接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．求出BE、AF即可解決問(wèn)題．

解答 解：
以D為圓心1為半徑作⊙D，過(guò)點(diǎn)B作⊙D的切線BP、BP′，連接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．

∵四邊形ABCD是正方形，CD=BC=AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$DC=2，∠ABC=90°，
在Rt△PBD中，∵∠BPD=90°，BD=2，DP=1，
∴∠PBD=30°，同理∠P′BD=30°，
∴∠ABE=∠CBP=15°，
在△ABE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFB}\\{∠EAB=∠FBA=75°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAF，
∴∠ABE=∠OAB=15°，
∴∠AOE=∠FOB=30°，
∴AO=OB=2AE，設(shè)AE=a，則AO=OB=2a，EO=$\sqrt{3}$a，
∴EB=AF=2a+$\sqrt{3}$a，
∵AB²=AE²+BE²，
∴2=a²+（2a+$\sqrt{3}$a）²，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴AE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，AF=BE=2a+$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
∵點(diǎn)P在線段AD上方，
∴點(diǎn)A到BP的距離=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
∴故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)，學(xué)會(huì)利用圓的切線的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．