Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，b），且a.b滿足，

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及線段OA的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若B（1，0），C（0，－3），試確定∠ACO+∠BCO的值是否發(fā)生變化，若不變，求其值；若變化，請(qǐng)求出變化范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(,0)或P(4,0)、P（，0）；（3）45.

【解析】

（1）先由二次根式有意義的條件得出a的值，再代入等式得出b的值，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而利用兩點(diǎn)間的距離公式可得OA的長(zhǎng)；

（2）分OA=OP、AO=AP、PO=PA三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)逐一求解可得；

（3）在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使得OD=OB=1，知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此得∠BCO=∠DCO，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式知AD2=10，CD2=10，AC2=20，依據(jù)勾股定理逆定理判斷出△ACD是等腰直角三角形，利用∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD可得答案．

解：

（1）∵，

∴a=2，

則b=1，

∴A（2，1），

則OA=＝；

（2）當(dāng)OA=OP時(shí)，P（，0）；

當(dāng)AO=AP時(shí)，如圖1，作AH⊥x軸于點(diǎn)H，

則OH=PH=2，

∴OP=4，

∴P（4，0）；

當(dāng)P′O=P′A時(shí)，設(shè)P′O=P′A=x，則P′H=2-x，

由AP′2=P′H2+AH2得（2-x）2+12=x2，

解得：x=，

∴P（，0）．

（3）如圖2，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使得OD=OB=1，

則點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴∠BCO=∠DCO，

∵A（2，1），D（-1，0），C（0，-3），

∴AD2=32+12=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，

∴AD2+CD2=AC2，且AD=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°．