Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且S_△BOC=

9

2

．
（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P直線BC上的動點(diǎn)、Q是拋物線上的動點(diǎn)．問：是否存在以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形，使得它與△BOC相似？若存在，請直接寫出線段PQ的長；若不存在，請說明理由；
（3）在上述條件下，把直線BC繞C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求OP的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知了B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出OB的長，根據(jù)△BOC的面積可求得OC的長，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線BC和拋物線的解析式．
（2）由（1）知：OB=OC=3，即∠OCB=45°，若△CPQ與△BOC相似，那么△CPQ也必為等腰直角三角形，因此需要考慮兩種情況：
①以C為直角頂點(diǎn)，過C作直線BC的垂線，此垂線與拋物線的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，易得直線BC的解析式，根據(jù)CQ⊥BC，可求得直線CQ的斜率，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)即可得到直線CQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得CQ的長，那么PQ=

2

CQ，由此得解；
②以Q或P為直角頂點(diǎn)，過C作x軸的平行線，那么此直線與拋物線的交點(diǎn)必為Q點(diǎn)，易得CQ的長，當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ=PQ，當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ=

2

PQ，由此得解．
（3）若旋轉(zhuǎn)后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，有兩種情況需要考慮：
①旋轉(zhuǎn)后直線B′C正好和y軸重合，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)C，由（2）求得PQ=CP=

2

或2，那么OP的最小值應(yīng)為3-2=1；
②當(dāng)直線B′C不與y軸重合，設(shè)出該直線的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，若兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所得方程的判別式等于0，由此可確定此直線（設(shè)為B′C′）的解析式，進(jìn)而求得該直線與x軸交點(diǎn)B′的坐標(biāo)，過O作B′C的垂線，在Rt△B′OC中，利用勾股定理易得B′C的長，進(jìn)而可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法求得OP的長；
比較上述兩種情況所得OP的長，即可得到OP的最小值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸的相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C；
∴OB=3，OC=c，-3²+3b+c=0，
∵S_△BOC=

1

2

OB•OC=

9

2

，
∴c=3，b=2；
∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3；（2分）
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+m，
則

0=3k+m 3=m

，
∴

k=-1 m=3

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-x+3．（4分）

（2）由于OB=OC=3，則△OBC是等腰直角三角形，
若C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，則△CPQ也必為等腰直角三角形，
①過C作直線CQ⊥BC，交拋物線于Q；
易知C（0，3），且直線BC：y=-x+3；
故直線CQ：y=x+3，聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=x+3 y=-x2+2x+3

，
解得

x=0 y=3

，

x=1 y=4

；
故Q（1，4），CQ=

2

；
則PQ=

2

CQ=2；
②過C作直線CQ∥x軸，交拋物線于Q；
則Q（2，3），CQ=2；
當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=CQ=2；
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=

2

2

CQ=

2

；
綜上可知：存在以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形，使得它與△BOC相似；PQ的長為：PQ=

2

或2．（6分）

（3）OP=1．
在上述條件下，把直線BC繞C旋轉(zhuǎn)；當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則公共點(diǎn)為C（0，3）（有兩種情況）
①直線BC與y軸重合時(shí)，顯然，OP=1；（7分）
②直線BC與y軸重合時(shí)，設(shè)直線BC繞C旋轉(zhuǎn)后的直線B′C函數(shù)解析式為：（B′為直線B′C與x軸的交點(diǎn)）y=kx+3，
把y=kx+3代入y=-x²+2x+3中得：
kx+3=-x²+2x+3，
整理得x²+（k-2）x=0，
∴△=（k-2）²=0，
∴k=2，
∴設(shè)直線B′C的函數(shù)解析式為：y=2x+3；（8分）
令y=0，則2x+3=0，得x=-

3

2

，
∴B′（-

3

2

，0），
∴OB′=

3

2

；
作OP⊥CB′于點(diǎn)P，此時(shí)OP的值最��；（10分）
此時(shí)，CB′•OP=OB′•OC，
∵OB′=

3

2

，OC=3，
CB′=

( 3 2 )2+32

=

3

2

5

，
∴OP=

3

5

5

；（11分）
綜上得，OP=1．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了圖形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識，（2）（3）題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，一定要將問題考慮全面，以免漏解．