【題目】在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線交線段BC于點(diǎn)E,交線段DC的延長線于點(diǎn)F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.
(1)如圖1,證明平行四邊形ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=90°,M是EF的中點(diǎn),求∠BDM的度數(shù);
(3)如圖3,若∠ABC=120°,請直接寫出∠BDG的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;
(2)∠BDM的度數(shù)為45°;
(3)∠BDG的度數(shù)為60°.
【解析】試題分析:(1)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC,AB∥CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CEF=∠CFE,根據(jù)等角對等邊可得CE=CF,再有條件四邊形ECFG是平行四邊形,可得四邊形ECFG為菱形;
(2)首先證明四邊形ECFG為正方形,再證明△BME≌△DMC可得DM=BM,∠DMC=∠BME,再根據(jù)∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度數(shù);
(3)延長AB、FG交于H,連接HD,求證平行四邊形AHFD為菱形,得出△ADH,△DHF為全等的等邊三角形,證明△BHD≌△GFD,即可得出答案.
試題解析:(1)∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四邊形ECFG是平行四邊形,
∴四邊形ECFG為菱形.
(2)如圖,連接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,
∴四邊形ABCD是矩形,
又由(1)可知四邊形ECFG為菱形,
∠ECF=90°,
∴四邊形ECFG為正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M為EF中點(diǎn),
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形,
∴∠BDM=45°;
(3)∠BDG=60°,
延長AB、FG交于H,連接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四邊形AHFD為平行四邊形,
∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD,
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°,
∴△DAF為等腰三角形,
∴AD=DF,
∴平行四邊形AHFD為菱形,
∴△ADH,△DHF為全等的等邊三角形,
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°,
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF,
在△BHD與△GFD中,
∵,
∴△BHD≌△GFD(SAS),
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
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(1)學(xué)校對七年級部分學(xué)生進(jìn)行選課調(diào)查,得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖,請估計(jì)該校七年級480名學(xué)生選“數(shù)學(xué)故事”的人數(shù).
(2)學(xué)校將選“數(shù)學(xué)故事”的學(xué)生分成人數(shù)相等的A,B,C三個班,小聰、小慧都選擇了“數(shù)學(xué)故事”,已知小聰不在A班,求他和小慧被分到同一個班的概率.(要求列表或畫樹狀圖)
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(2)若∠BAF=35°,求∠BFC的度數(shù).
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