Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax-4ax交x軸于點A，直線y= x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，與拋物線交于點D，E(點D在點E的右側)．

（1）求點A，B，C的坐標．

（2）當點D為BC的中點時，求a的值．

（3）若設拋物線的頂點為點M，點M關于直線BC的對稱點為N， 當點N落在△BOC的內(nèi)部時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A(4，0)，B(6，0)，C(0，3)；（2）a=；（3）<a<

【解析】

（1）利用拋物線的解析式求出點A的坐標，再利用一次函數(shù)解析式，由y=0求出對應的x的值，由x=0求出對應的y的值，即可得到點B，C的坐標；

（2）利用中點坐標求出點D的坐標，再將點D的坐標代入拋物線的解析式求出a的值；（3）將函數(shù)解析式轉化為頂點式，可得到頂點M的坐標，再分情況討論：當N恰好落存OC上時，作MH⊥y軸，連接CM，易證△HMN∽△OCB，利用已知求出a的值；當N落在x軸上時，可以求得Ｎ不在OB內(nèi)(N不可能在線段OB上)；當N落在BC上時，則M也在BC上，易求出a的值，即可得到a的取值范圍.

（1）解：∵拋物線y=ax2-4ax交x軸于點A，

∴當y=0時， ，

解得，

∴A(4，0)，

∵直線y=x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，

∴當y=0時得x=6，當x=0時得y=3，

∴B(6，0)，C(0，3)．

（2）解：∵點D為BC的中點，

∴點D的坐標為(3， )，

把(3， )代入y=ax2-4ax得a=，

（3）解：由y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a，∴M(2，-4a) ，

當N恰好落在OC上時，作MH⊥y軸，連接CM，

∴MN⊥BC，

∴∠MNH+∠OCB=90°，

∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠MNH=∠OBC，

∵∠MHN=∠COB=90°，

∴△HMN∽△OCB，

∴ ，

∵HM=2，OC=3，OB=6，

∴HN=4，

∵CM=CN，

∴在Rt△HCM中利用勾股定理，得CN=CM= ，CH=，

∴OH=，

∴-4a=，

∴a=；

當N落在x軸上時，可以求得N不在OB內(nèi)(N不可能在線段OB上)；

當N落在BC上時，則M也在BC上，此時a=.

∴ <a<