Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，點D在線段AC上，點E在線段BC的延長線上．將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′（點D的對應點為點D′，點E的對應點為點E′），連接AD′、BE′，過點C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段AD′于點M，則MN的長為______．

Answer 1

如下圖，過點B作E'C的垂線交其延長線于F點，過點D'作CM的垂線交CM于H點，過A點作CM的垂線交其延長線于G點．
∵∠ACD'=60°，∠ACB=∠D'CE'=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD'-∠ACB-∠D'CE'=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE'=60°，
BF=sin∠BCF•BC=

3

2

×10=5

3

，
∴S_△BCE'=

1

2

BF•CE'=15

3

．
∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△BCN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△CE′N，D′H=CN，CH=NE′．
∴M為GH中點，CM=

1

2

（CG+CH）=

1

2

（NB+NE′）=

1

2

BE′．
又∵BF=5

3

，∠BCF=60°，
∴CF=5，F(xiàn)E′=CF+CE′=11，
∴BE'=

BF2+FE′2

=

(5 3 )2+112

=14，
∴CM=

1

2

BE'=7．
又∵S_△BCE'=

1

2

CN•BE'，
∴CN=2S_△BCE′÷BE'=

15 3

7

，
∴MN=CM+CN=7+

15 3

7

．
同理，當△CDE逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，MN如下圖中右邊所示，MN=7-

15 3

7

．