Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象交于點(diǎn)P(n，2)，與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，PB丄x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

（2）求證：點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)；

（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，如果存在，說明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x＋1. （2）點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn). （3）存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，點(diǎn)D（8，1）即為所求.

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，可得AO＝BO，再由A的坐標(biāo)求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式，將A與P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可證得結(jié)論 ；（3）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，過點(diǎn)C作CD平行于x軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)y＝ 的圖象于點(diǎn)D，分別連結(jié)PD、BD，如圖所示，即可得點(diǎn)D（8，1）， BP⊥CD，易證PB與CD互相垂直平分，即可得四邊形BCPD為菱形，從而得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴AO＝BO，

∵A(－4，0)，

∴B(4，0)，

∴P(4，2),

把P(4，2)代入y＝得m＝8，

∴反比例函數(shù)的解析式：y＝

把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b

得： ，解得： ，

所以一次函數(shù)的解析式：y＝x＋1.

（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴OA=OB

∵PB丄x軸于點(diǎn)B，

∴∠PBA=90°，

∵∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn).

（3）存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形

∵點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)，

∴BC= ，

∴BC和PC是菱形的兩條邊

由y＝x＋1，可得點(diǎn)C(0，1)，

過點(diǎn)C作CD平行于x軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D，

分別連結(jié)PD、BD，

∴點(diǎn)D（8，1）， BP⊥CD

∴PE＝BE＝1，

∴CE＝DE＝4，

∴PB與CD互相垂直平分，

∴四邊形BCPD為菱形.

∴點(diǎn)D（8，1）即為所求.