Question

（2013•佛山）我們知道，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形除了具備平行四邊形的一切性質(zhì)還有其特殊的性質(zhì)；同樣，黃金矩形是特殊的矩形，因此黃金矩形有與一般矩形不一樣的知識(shí)．
已知平行四邊形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．
（1）把所給的平行四邊形ABCD用兩種方式分割并作說(shuō)明（見題答卡表格里的示例）；要求：用直線段分割，分割成的圖形是學(xué)習(xí)過(guò)的特殊圖形且不超出四個(gè)．

分割圖形	分割或圖形說(shuō)明
示例：	示例： ①分割成兩個(gè)菱形． ②兩個(gè)菱形的邊長(zhǎng)都為a，銳角都為60°．

（2）圖中關(guān)于邊、角和對(duì)角線會(huì)有若干關(guān)系或問題．現(xiàn)在請(qǐng)計(jì)算兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度．要求：計(jì)算對(duì)角線BD長(zhǎng)的過(guò)程中要有必要的論證；直接寫出對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）方案一：分割成兩個(gè)等腰梯形；
方案二：分割成一個(gè)等邊三角形、一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理作答，認(rèn)真計(jì)算即可．

解答：解：（1）在表格中作答：

分割圖形	分割或圖形說(shuō)明
示例：	示例： ①分割成兩個(gè)菱形． ②兩個(gè)菱形的邊長(zhǎng)都為a，銳角都為60°．
	①分割成兩兩個(gè)等腰梯形． ②兩個(gè)等腰梯形的腰長(zhǎng)都為a， 上底長(zhǎng)都為 a 2 ，下底長(zhǎng)都為 3 2 a， 上底角都為120°，下底角都為60°．
	①分割成一個(gè)等邊三角形、一個(gè)等腰三角形、一個(gè)直角三角形． ②等邊三角形的邊長(zhǎng)為a， 等腰三角形的腰長(zhǎng)為a，頂角為120°． 直角三角形兩銳角為30°、60°，三邊為a、 3 a、2a．

（2） 如右圖①，連接BD，取AB中點(diǎn)E，連接DE．
∵AB=2a，E為AB中點(diǎn)，
∴AE=BE=a，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE為等邊三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a，
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°-∠DEA=180°-60°=120°，
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，
∴∠BDE=∠DBE=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°
∴Rt△ADB中，∠ADB=90°，
由勾股定理得：BD²+AD²=AB²，即BD²+a²=（2a）²，
解得BD=

3

a．
如右圖②所示，AC=2OC=2

OB2+BC2

=2

3 4 a2+a2

=2•

7

2

a=

7

a．
∴BD=

3

a，AC=

7

a．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了四邊形（平行四邊形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等邊三角形、等腰三角形、直角三角形）的圖形與性質(zhì)．第（1）問側(cè)重考查了幾何圖形的分割、剪拼、動(dòng)手操作能力和空間想象能力；第（2）問側(cè)重考查了幾何計(jì)算能力．本題考查知識(shí)點(diǎn)全面，對(duì)學(xué)生的幾何綜合能力要求較高，是一道好題．