Question

4．如圖，AC與BD是⊙I的直徑，AD=4，CD=10，點(diǎn)G是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F、H分別是DC、DG、CG的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）填空：①當(dāng)AG=5時(shí)，四邊形EFCH是菱形；
②當(dāng)AG=2或8時(shí)，四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理證EF∥CG且EF=$\frac{1}{2}$CG、GH=$\frac{1}{2}$GC可得EF∥CG、EF=GH；
（2）①由圓周角定理證得四邊形ABCD是矩形，可得AD=BC=4、AB=CD=10，根據(jù)菱形的性質(zhì)得CH=EH，再證Rt△DAG≌Rt△CBG可得答案；
②證△ADG∽△BGC得$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AG}{BC}$，即$\frac{4}{10-AG}$=$\frac{AG}{4}$，解之可得．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E、F、H分別是DC、DG、CG的中點(diǎn)，
∴EF∥CG，且EF=$\frac{1}{2}$CG，GH=$\frac{1}{2}$GC，
∴EF∥CG，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①∵四邊形EFCH是菱形，
∴CH=EH，
又∵點(diǎn)E、F、H分別是DC、DG、CG的中點(diǎn)，
∴CH=$\frac{1}{2}$CG，EH=$\frac{1}{2}$DG，
∴DG=CG，
∵AC與BD是⊙I的直徑，
∴∠DAG=∠CBG=∠ADC=∠BCD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=10
在Rt△DAG和Rt△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=CG}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAG≌Rt△CBG（HL），
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=5，
故答案為：5；
②∵四邊形EFGH是矩形
∴∠DGC=90°，
∴∠AGD+∠BGC=90°，
∵∠DAG=∠CBG=90°，
∴∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ADG=∠BGC，
∴△ADG∽△BGC，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AG}{BC}$，即$\frac{4}{10-AG}$=$\frac{AG}{4}$，
解得：AG=2或8，
故答案為：2或8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)及圓周角定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．