Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由？

（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由；

（3）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，證明見解析；（2）四邊形BCFE不可能是菱形，理由見解析；（3）當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，理由見解析.

【解析】分析：（1）OE=OF，利用平行線的性質及角平分線的定義證得∠2=∠3，根據等腰三角形的性質可得OE=OC，同理可得OC=OF，即可得OE=OF；（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，這與在同一平面內過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；（3）當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，先證明四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，根據有一個角為直角的平行四邊形是矩形即可證得結論．

詳解：

（1）OE=OF．

證明如下：

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠1=∠2．

∵MN∥BC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OE=OC．

同理可證OC=OF．

∴OE=OF．

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，

而由（1）可知FC⊥EC，在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．

（3）當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵O為AC中點，

∴OA=OC，

∵由（1）知OE=OF，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，

∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，

∴AECF為矩形