Question

如圖所示的直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，且∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過所求拋物線的頂點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根據(jù)勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標(biāo)．
（2）求出B、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答；
（3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據(jù)三角函數(shù)求出BN的長，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗證即可．
解答：解：（1）連接AD，得
OA=，AD=2，
∴OD===3，
∴D（0，-3）．

（2）∵點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
∴B（-，0），C（3，0），D（0，-3）
將AB，C，D三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得
∴拋物線為．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2
∴AM=4
∴M（5，0）
∵
∴N（0，-5）
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，由于點(diǎn)M（5，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則，
解得
∴直線MN的解析式為
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-4），
當(dāng)x=時，y=
∴點(diǎn)（，-4）在直線上，
即直線MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問題相結(jié)合，考查了同學(xué)們的實際應(yīng)用能力，注意利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．