Question

【題目】在ABCD中，對角線AC、BD相交于O，EF過點O，連接AF、CE．

（1）求證：△BFO≌△DEO；

（2）若AF⊥BC，試判斷四邊形AFCE的形狀，并加以證明；

（3）若在（2）的條件下再添加EF平分∠AEC，試判斷四邊形AFCE的形狀，無需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；

（2）四邊形AFCE是矩形，證明見解析；

（3）四邊形AFCE是正方形.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC，得出∠OBF＝∠ODE，由ASA證明△BFO≌△DEO即可；

（2）由全等三角形的性質得出BF＝DE，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再證出∠AFC＝90°，即可得出四邊形AFCE是矩形．

（3）由EF平分∠AEC知∠AEF＝∠CEF，再由AD∥BC知∠AEF＝∠CFE，從而得∠CEF＝∠CFE，繼而知CE＝CF，據(jù)此可得答案．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠OBF＝∠ODE，

在△BFO和△DEO中，

∵ ，

∴△BFO≌△DEO（ASA）；

（2）四邊形AFCE是矩形；理由如下：

∵△BFO≌△DEO，

∴BF＝DE，

∴CF＝AE，

∵AD∥BC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

又∵AF⊥BC，

∴∠AFC＝90°，

∴四邊形AFCE是矩形；

（3）∵EF平分∠AEC，

∴∠AEF＝∠CEF，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴四邊形AFCE是正方形．