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【題目】已知拋物線l1y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A、B(點A在點B左邊),與y軸交于點C,拋物線l2經過點A,與x軸的另一個交點為E(4,0),與y軸交于點D(0,﹣2).

(1)求拋物線l2的解析式;

(2)點P為線段AB上一動點(不與A、B重合),過點Py軸的平行線交拋物線l1于點M,交拋物線l2于點N

①當四邊形AMBN的面積最大時,求點P的坐標;

②當CM=DN≠0時,求點P的坐標.

【答案】(1)y=x2x﹣2(2)①(,0)②(1,0),或(,0)

【解析】試題分析:(1)、首先根據二次函數的解析式得出點A和點B的坐標,然后將所求的二次函數設成交點式,將點D的坐標代入求出函數解析式;(2)、首先根據題意求出AB的長度,設點P的坐標為(x,0),根據題意得出M和N的點坐標,根據四邊形的面積=AB·MN得出函數解析式,然后根據二次函數的性質得出最大值;(3)、作CGMNGDHMNH,如果CMDN不平行,得出四邊形CDNM為等腰梯形,根據題意得出△CGM和△DNH全等,設點P的坐標為(x,0),得出點M、N的坐標,根據和為1求出方程的解,得出點P的坐標;當CMDN時,四邊形CDNM為平行四邊形,然后根據平行四邊形的性質得出方程,從而求出x的值得出點P的坐標.

試題解析:(1)∵令﹣x2+2x+3=0, 解得:x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0).

設拋物線l2的解析式為y=a(x+1)(x﹣4). ∵將D(0,﹣2)代入得:﹣4a=﹣2, ∴a=. ∴拋物線的解析式為y=x2x﹣2;

(2)①如圖1所示:

∵A(﹣1,0),B(3,0), ∴AB=4.

設P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2x﹣2). ∵MN⊥AB,

∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10(﹣1<x<3). ∴當x=時,SAMBN有最大值.

∴此時P的坐標為(,0).

②如圖2所示:作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM與DN不平行.

∵DC∥MN,CM=DN, ∴四邊形CDNM為等腰梯形. ∴∠DNH=∠CMG.

在△CGM和△DNH中 , ∴△CGM≌△DNH. ∴MG=HN. ∴PM﹣PN=1.

設P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2x﹣2).

∴(﹣x2+2x+3)+(x2x﹣2)=1, 解得:x1=0(舍去),x2=1. ∴P(1,0).

當CM∥DN時,如圖3所示:∵DC∥MN,CM∥DN, ∴四邊形CDNM為平行四邊形.

∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣(x2x﹣2)=5, ∴x1=0(舍去),x2=,

∴P(,0).

綜上所述P點坐標為(1,0),或(,0).

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