Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上．若四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且有一個(gè)內(nèi)角為的菱形．求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

y=（x-1）²-1；y=（x-1）²-；y=-（x-1）²+1；y=-（x-1）²+．

試題分析：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，可得以下四種情況：
（1）以菱形長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；
（2）以菱形長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下；
（3）以菱形短對(duì)角線(xiàn)兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；
（4）以菱形短對(duì)角線(xiàn)兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
解答時(shí)都利用四邊形ACBD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的條件根據(jù)解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解答．
本題共有4種情況．
設(shè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）如圖①，
當(dāng)∠CAD=60°時(shí)，
因?yàn)锳CBD是菱形，一邊長(zhǎng)為2，
所以DE=1，BE=，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），
解得k=-1，a=．
所以y=（x-1）²-1．

（2）如圖②，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-）．
解得k=-，a=，
所以y=（x-1）²-．
同理可得：y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．