Question

已知：如圖，拋物線y=-

3

3

x2+mx+

3

與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，A點坐標為（-1，0）
（1）求m的值和點B的坐標；
（2）過A、B、C的三點的⊙M交y軸于另一點D，設(shè)P為弧CBD上的動點P（P不與C、D重合），連接AP交y軸于點H，問是否存在一個常數(shù)k，始終滿足AH•AP=k？如果存在，請求出常數(shù)k；如果不存在，請說明理由；
（3）連接DM并延長交BC于N，交⊙M于點E，過E點的⊙M的切線分別交x軸、y軸于點F、G，試探究BC與FG的位置關(guān)系，并求直線FG的解析式．

Answer 1

分析：（1）將A點坐標代入解析式，求出m的值，得出拋物線的具體解析式，再求出拋物線與x軸的交點坐標即為B點坐標；
（2）連接CP、AP，利用垂徑定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；
（3）利用圓的對稱性、含30°角的直角三角形的特征、求得點F、G的坐標，就可以解決問題．

解答：解：（1）將A（-1，0）代入解析式y=-

3

3

x2+mx+

3

，
解得m=

2 3

3

；
令y=0，即-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
因此B點坐標為（3，0）；

（2）如圖，假設(shè)存在常數(shù)k，滿足AH•AP=k
連接CP，由垂徑定理可知，
∴∠P=∠ACH（或利用∠P=∠ABC=∠ACO），
又∵∠CAH=∠PAC，
∴△ACH∽△APC，

AC

AH

=

AP

AC

，
∴即AC²=AH•AP，
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²=1²+（

3

）²=4，
∴AH•AP=k=4；
（3）由A（-1，0），B（3，0）C（0，

3

）
根據(jù)圓的對稱性，易知：⊙M半徑為2，
M（ 1，0）D（0，-

3

），
在Rt△DOM中，∠DOM=90°，OM=1，OD=

3

，
∴∠MDO=30°，
易得∠MFG=30°，在Rt△DGE中，∠GDE=30°，DE=4，
∴DG=

8

3

3

，OG=

5

3

3

，
∴G點的坐標為（0，

5

3

3

）
在Rt△GOF中∠OFG=30°，OG=

5

3

3

，
∴OF=5，
∴F點的坐標為（5，0）
∴直線FG的解析式為y=-

3

3

x+

5

3

3

．

點評：此題考查勾股定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，是一道綜合性很強的題目．