Question

（2013•寧化縣質(zhì)檢）已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1-

3

，0）和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）在原拋物線上，是否存在一點(diǎn)，與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在該拋物線上？若存在，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級（5）班的小明在解答此題時頓生靈感：過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比

5 -1

2

（約等于0.618）．請你計(jì)算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：

5

≈2.236，

6

≈2.449，結(jié)果精確到0.001）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得出P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），再設(shè)原拋物線的頂點(diǎn)解析式為y=a（x-1）²-3，將A點(diǎn)坐標(biāo)（1-

3

，0）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出原拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)（x，y），其關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（-x，-y），將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入（1）中所求的解析式，得到關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組即可判斷；
（3）先由P′（1，3）在CD上，可知“W”圖案的高為3，再結(jié)合CD∥x軸的條件，得出C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，解方程（x-1）²-3=3，得到C、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，然后求出CD的長度，則“W”圖案的高與寬（CD）的比為

3

CD

，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）由題意得，點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱
所以由P'（1，3）得，P（1，-3）
將A（1-

3

，0），P（1，-3）代入方程y=a（x-1）²+c中
3a+c=0
c=-3
解得，a=1，c=-3
所以原拋物線的解析式為y=（x-1）²-3；

（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)（x，y），其關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（-x，-y），
則

y=x2-2x-2 -y=x2+2x-2

，解得

x1=- 2 y1=2 2

，

x2= 2 y2=-2 2

，
∴存在滿足題意的點(diǎn)為（-

2

，2

2

）和（

2

，-2

2

）；

（3）∵CD∥x軸，P′（1，3）在CD上；
∴C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，有（x-1）²-3=3，
解得：x₁=1-

6

，x₂=1+

6

，
∴CD=（1+

6

）-（1-

6

）=2

6

，
∴“W”圖案的高與寬（CD）的比為：

3

2 6

=

6

4

≈0.612．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，平行于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，綜合性較強(qiáng)，難度不大．求出原拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．