Question

如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點A，D是射線BF上的一點，且滿足=，過點O作OM⊥AC于點E，交⊙O于點M，連接BM，AM．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

解答：    （1）證明：連接OA；

∵BA平分∠CBF，

∴∠ADB=∠CAB，

∵，

∴△ADB∽△CBA，

∴∠ADB=∠CAB，

又∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，

又∵點A在圓O上，

∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=∠DBA，

∴FB∥OA，

∴∠ADB+∠OAD=180°，

∠OAD=90°，

∴OA⊥DA，∵OA為半徑，

∴DA為⊙O的切線．

（2）解：連接CM，

∵OM⊥AC于點E，OM是半徑，

∴=，

∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，

∴sin∠ABM=sin∠CBM=，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BMC=90°，

在RT△BMC中，sin∠CBM=，

∴=，

∴BC=10，

∴⊙O的半徑為5．