Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點(diǎn)間的距離是25；
（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF-FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)，運(yùn)用三角形中位線定理即可求出DF的長；
（2）連接DF，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2$\frac{6}{7}$≤t≤5時(shí)根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7$\frac{6}{7}$）時(shí)，根據(jù)PB=PF+BF就可以得到t的值．

解答 解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，

∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=25，
即D、F兩點(diǎn)間的距離是25，
故答案為：25．

（2）射線QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分．
如圖，連接DF，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，

∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，
∴QK過DF的中點(diǎn)O時(shí)，即過矩形CDEF的中點(diǎn)，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，
此時(shí)QH=OF=12.5．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，
∴BC=40，
由BF=20，△HBF∽△CBA，可得HB=16．
故t=$\frac{QH+HB}{4}$=$\frac{12.5+16}{4}$=7$\frac{1}{8}$．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2$\frac{6}{7}$≤t≤5）時(shí)，如圖，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得$\frac{PE}{AB}$=$\frac{QE}{CA}$，
即$\frac{7t-20}{50}$=$\frac{25-4t}{30}$．
∴t=4$\frac{21}{41}$；
②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7$\frac{6}{7}$）時(shí)，如圖，已知QB=4t，從而PB=$\frac{QB}{cos∠B}$=$\frac{4t}{\frac{4}{5}}$=5t，

由PF=7t-35，BF=20，可得5t=7t-35+20．
解得t=7$\frac{1}{2}$．
綜上所述，t的值為4$\frac{21}{41}$或7$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形性質(zhì)，解題時(shí)注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，正確找出題目中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．