Question

已知關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有實數(shù)根，試確定a，b之間的大小關系；
（2）若a：b=2：

3

，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)y=x²+2ax+b²的圖象與x軸的交點為A、C（點A在點C的左側），與y軸的交點為B，頂點為D．若點P（x，y）是四邊形ABCD邊上的點，試求3x-y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程有實數(shù)根可以得到其根的判別式為非負數(shù)，然后再根據(jù)a＞0，b＞0作出判斷即可；
（2）利用a與b的比值分別設出a和b，利用根與系數(shù)的關系用設出的未知數(shù)表示出方程的兩個解，代入的2x₁-x₂=2中求得a與b的值即可；
（3）將上題中求得的a與b的值代入到函數(shù)中確定函數(shù)的解析式，然后求得與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標和頂點坐標，據(jù)此可以求出3x-y的最大值．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，
有a²-b²≥0，
（a+b）（a-b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a-b≥0．
∴a≥b．

（2）∵a：b=2：

3

，
∴設a=2k，b=

3

k．
解關于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k．
當x₁=-k，x₂=-3k時，由2x₁-x₂=2得k=2．
當x₁=-3k，x₂=-k時，由2x₁-x₂=2得k=-

2

5

（不合題意，舍去）．
∴a=4，b=2

3

．

（3）當a=4，b=2

3

時，
二次函數(shù)y=x²+8x+12與x軸的交點坐標分別為A（-6，0）、C（-2，0），
與y軸交點坐標為B（0，12），頂點坐標D為（-4，-4）．
設z=3x-y，則y=3x-z．
畫出函數(shù)y=x²+8x+12和y=3x的圖象，若直線y=3x平行移動時，如圖
可以發(fā)現(xiàn)當直線經過點C時符合題意，此時最大z的值等于-6

點評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程思想的應用過程．