【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE.

(1)求證:DEC≌△EDA;

(2)求DF的值;

(3)如圖2,若P為線段EC上一動點,過點P作AEC的內(nèi)接矩形,使其頂點Q落在線段AE上,定點M、N落在線段AC上,當線段PE的長為何值時,矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2).(3)PE=時,矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.

【解析】

試題分析:(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE,DC=EA,根據(jù)SSS可求得DEC≌△EDA;

(2)根據(jù)勾股定理即可求得.

(3)由矩形PQMN的性質(zhì)得PQCA,所以,從而求得PQ,由PNEG,得出,求得PN,然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式,即可求得.

試題解析:(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知:AD=CE,DC=EA,

ADE與CED中,

∴△DEC≌△EDA(SSS);

(2)如圖1,

∵∠ACD=BAC,BAC=CAE,

∴∠ACD=CAE,

AF=CF,

設(shè)DF=x,則AF=CF=4-x,

在RtADF中,AD2+DF2=AF2,

即32+x2=(4-x)2

解得:x=,

即DF=

(3)如圖2,

由矩形PQMN的性質(zhì)得PQCA

CE=3,AC==5

設(shè)PE=x(0<x<3),則,即PQ=x

過E作EGAC于G,則PNEG,

在RtAEC中,EGAC=AECE,解得EG=

=,即PN=(3-x),

設(shè)矩形PQMN的面積為S,

則S=PQPN=-x2+4x=-x-2+3(0<x<3)

所以當x=,即PE=時,矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.

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