已知二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a(a>0).
(1)求此二次函數(shù)圖象與x軸交點A、B(A在B的左邊)的坐標(biāo);
(2)若此二次函數(shù)圖象與y軸交于點C、且△AOC∽△COB(字母依次對應(yīng)).
①求a的值;
②求此時函數(shù)圖象上關(guān)于原點中心對稱的兩個點的坐標(biāo).
分析:(1)已知二次函數(shù)的解析式,令函數(shù)值為零,所求的方程的解即為該函數(shù)與X軸交點的橫坐標(biāo),就可以寫出A、B兩點的坐標(biāo);
(2)先求出C點的坐標(biāo)①根據(jù)兩個三角形相似的條件,列出關(guān)于a的一個比例關(guān)系,就能求出a的值;②可先根據(jù)①寫出這個二次函數(shù)的解析式,由于所求的兩個點關(guān)于原點中心對稱,因此設(shè)其中一點的橫坐標(biāo)為t,另一點的橫坐標(biāo)就是-t,這樣根據(jù)兩點的縱坐標(biāo)關(guān)系,進而求出這兩點的坐標(biāo).
解答:解:(1)令ax
2-2ax-3a=0(1分)
解得x
1=-1,x
2=3(2分)
所以A(-1,0),B(3,0).(1分)
(2)①易知C(0,-3a),由△AOC∽△COB,(1分)
則
=,即
=,(2分)
解得
a=(舍負).(1分)
②此時函數(shù)解析式為
y=x2-x-,
設(shè)函數(shù)圖象上兩點
(t,t2-t-),
(-t,(-t)2-(-t)-)(1分)
由兩點關(guān)于原點中心對稱,得:
t2-t-=
-((-t)2-(-t)-)(1分)
解得
t=±,(1分)
∴這兩個點的坐標(biāo)為
(,-2)與
(-,2).(1分)
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與x軸、y軸交點的求法、相似三角形等知識點.考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.