【題目】如圖,一傘狀圖形,已知∠AOB120°,點P是∠AOB角平分線上一點,且OP2,∠MPN60°,PMOB交于點F,PNOA交于點E

1)如圖一,當PNPO重合時,探索PE,PF的數(shù)量關系.

2)如圖二,將∠MPN在(1)的情形下繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0a60°),繼續(xù)探索PEPF的數(shù)量關系,并求四邊形OEPF的面積.

【答案】1PEPF;(2.

【解析】

1)根據(jù)角平分線定義得到∠POF=60°,推出△PEF是等邊三角形,得到PE=PF;
2)過點PPQOA,PHOB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PQ=PH,∠PQO=PHO=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE=PF,S四邊形OEPF=S四邊形OQPH,求得OQ=1,QP=,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

解:(1)∵∠AOB=120°,OP平分∠AOB,

∴∠POF=60°,

∵∠MPN=60°,∴MPN=∠FOP=60°,∴△PEF是等邊三角形,

∴PE=PF;

(2)過點P作PQ⊥OA,PH⊥OB,

∵OP平分∠AOB,

∴PQ=PH,∠PQO=∠PHO=90°,

∵∠AOB=120°,∴∠QPH=60°,

∴∠QPE+∠FPH+∠EPH, ∴∠QPE=∠EPF,

在△QPE與△HPF中

∴△QPE≌△HPF(AAS),

∴PE=PF,

S四邊形OEPF=S四邊形OQPH,

∵PQ⊥OA,PH⊥OB,OP平分∠AOB,∴∠QPO=30°,

∴OQ=1,QP=,∴S△OPQ=×1×,

∴四邊形OEPF的面積=2S△OPQ=

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