【題目】類比梯形的定義,我們定義:有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.
(1)已知:如圖1,四邊形ABCD是“等對角四邊形”,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=80°.求∠C,∠D的度數.
(2)在探究“等對角四邊形”性質時:
①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD(如圖2),其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此時她發(fā)現CB=CD成立.請你證明此結論;
②由此小紅猜想:“對于任意‘等對角四邊形’,當一組鄰邊相等時,另一組鄰邊也相等”.你認為她的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例.
(3)已知:在“等對角四邊形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4.求對角線AC的長.
【答案】
(1)
解:如圖1
∵等對角四邊形ABCD,∠A≠∠C,
∴∠D=∠B=80°,
∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°;
(2)
解:①如圖2,
連接BD,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
②不正確,
反例:如圖3,∠A=∠C=90°,AB=AD,
但CB≠CD,
(3)
解:(Ⅰ)如圖4,當∠ADC=∠ABC=90°時,延長AD,BC相交于點E,
∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5,
∴AE=10,
∴DE=AE﹣AD=10﹣4=6,
∵∠EDC=90°,∠E=30°,
∴CD=2 ,
∴AC= = =2
(Ⅱ)如圖5,當∠BCD=∠DAB=60°時,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,
∵DE⊥AB,∠DAB=60°AD=4,
∴AE=2,DE=2 ,
∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3,
∵四邊形BFDE是矩形,
∴DF=BE=3,BF=DE=2 ,
∵∠BCD=60°,
∴CF= ,
∴BC=CF+BF= +2 =3 ,
∴AC= = =2
【解析】(1)利用“等對角四邊形”這個概念來計算.(2)①利用等邊對等角和等角對等邊來證明;②舉例畫圖;(3)(Ⅰ)當∠ADC=∠ABC=90°時,延長AD,BC相交于點E,利用勾股定理求解;(Ⅱ)當∠BCD=∠DAB=60°時,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,求出線段利用勾股定理求解.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在平面直角坐標系內,點A的坐標為(0,8),經過原點的直線l1與經過點A的直線l2相交于點B,點B坐標為(6,2).
(1)直接寫出直線l1的表達式 ,l2的表達式 ;
(2)點C為線段0B上一動點(點C不與點0,B重合),作CD∥y軸交直線l2于點D,
①設點C的橫坐標為3,則點D的坐標為 ;
②設點C的橫坐標為m,則點D的坐標為 ;(用含m的代數式表示).
③在②的條件下,若CD=2,則m的值為 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點E,F同時由A,C兩點出發(fā),分別沿AB,CB方向向點B勻速移動(到點B為止),點E的速度為1cm/s,點F的速度為2cm/s,經過t秒△DEF為等邊三角形,則t的值為( )
A.1
B.
C.
D.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,OE,OD分別平分∠AOC和∠BOC.
(1)如果∠AOB=900,∠BOC=400,求∠DOE的度數;
(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β (α、β均為銳角,α>β),其他條件不變,求∠DOE;
(3)從(1)、(2)的結果中,你發(fā)現了什么規(guī)律.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD,點E是邊AB的中點,點O是線段AE上的一個動點(不與A、E重合),以O為圓心,OB為半徑的圓與邊AD相交于點M,過點M作⊙O的切線交DC于點N,連接OM、ON、BM、BN.記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S1、S2、S3 , 則下列結論不一定成立的是( )
A.S1>S2+S3
B.△AOM∽△DMN
C.∠MBN=45°
D.MN=AM+CN
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,自左至右,第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成;第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成;第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成;…按照此規(guī)律,第個圖中正方形和等邊三角形的個數之和為 個.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知AD∥BC,AB⊥AD,點E,點F分別在射線AD,射線BC上.若點E與點B關于AC對稱,點E與點F關于BD對稱,AC與BD相交于點G,則( )
A.1+tan∠ADB=
B.2BC=5CF
C.∠AEB+22°=∠DEF
D.4cos∠AGB=
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換.如圖△ABC,DEF均為等腰直角三角形,各頂點坐標分別為A(1,1),B(2,2),C(2,1),D( ,0),E(2 ,0),F( ,﹣ ).
(1)他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45°得到△A1B1C1 . 請你寫出點A1 , B1的坐標,并判斷A1C和DF的位置關系;
(2)他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°,發(fā)現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=2 x2+bx+c上,請你求出符合條件的拋物線解析式;
(3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現將△ABC繞某個點旋轉45°,若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=x2上,則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標,請你直接寫出點P的所有坐標.
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