Question

【題目】已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（ ）
A.1+tan∠ADB=
B.2BC=5CF
C.∠AEB+22°=∠DEF
D.4cos∠AGB=

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，
由軸對(duì)稱性得，AB=AE，設(shè)為1，
則BE= = ，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，
∴DE=BF=BE= ，
∴AD=1+ ，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A正確；
CF=BF﹣BC= ﹣1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（ ﹣1），
∴2BC≠5CF，故B錯(cuò)誤；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE= =67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C錯(cuò)誤；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（ ）2﹣（ ）2= ，
∴OE= ，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB= = = ，4cos∠AGB=2 ，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對(duì)稱的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．