Question

如圖，正方形OABC的面積是9，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B、點P（m，n）在函數y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上．過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F．
（1）求B點坐標和k的值；
（2）當P點的橫坐標大于B點的橫坐標，且S_{四邊形AEPG}=

9

2

時，求PA所在的直線方程；
（3）求函數y=m+n的最小值；
（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，則a+b≥2

ab

，當且僅當a=b時等號成立．）

Answer 1

分析：（1）根據正方形OABC的面積是9，可求B點坐標為（3，3），把B點坐標代入函數y=

k

x

中，可求k=9；
（2）設P（a，

9

a

），（a＞3），則PG=a-3，PE=

9

a

，由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=

9

2

，列方程求a，設直線PA解析式為y=kx+b，將P、A兩點坐標代入可求直線PA的解析式；
（3）點P（m，n）在雙曲線y=

9

x

上，可知n=

9

m

，故y=m+n=m+

9

m

，再根據平均值定理求最小值．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積是9，
∴AB=BC=3，
即B點坐標為（3，3），
把B（3，3）代入函數y=

k

x

中，
得k=xy=9；

（2）設P（a，

9

a

），（a＞3），則PG=a-3，PE=

9

a

，
由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=

9

2

，得（a-3）•

9

a

=

9

2

，
解得a=6，故P（6，

3

2

），
設直線PA解析式為y=kx+b，將P（6，

3

2

），A（3，0）兩點坐標代入，
得

6k+b= 3 2 3k+b=0

，
解得

k=  1 2 b=-  3 2

，
∴直線PA的解析式為y=

1

2

x-

3

2

；

（3）∵點P（m，n）在雙曲線y=

9

x

上，
∴n=

9

m

，
∴y=m+n=m+

9

m

≥2

m•  9 m

=6，
∴函數y=m+n的最小值為6．

點評：此題主要考查反比例函數解析式、一次函數解析式的求法，注意通過解方程求點的坐標，列方程組求直線的解析式．同時要注意運用數形結合的思想．