Question

【題目】如圖①，直線與軸交于點，與軸交于點，點是線段上一動點以點為圓心，長為半徑作交軸于點，分別交直線于點和點，連接并延長交于點．

（1）求直線的函數(shù)解析式和點的坐標；

（2）如圖②，連接，當時，求證：并求點的坐標；

（3）當點在線段上運動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見解析；；（3）最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出b即可得出直線l表達式，即可得出結論；
（2）①先判斷出∠CDF=2∠CDE，進而得出∠OAE=∠ODF，即可得出結論；
②設出EM=3m，AM=4m，進而得出點E坐標，即可得出OE的平方，再根據(jù)①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出結論；
（3）利用面積法求出OG，進而得出AG，HE，再構造相似三角形，即可得出結論．

解：（1）∵直線與軸交于點，

∴，

∴，

∴直線的函數(shù)解析式，

∴，

（2）①如圖2，連接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵四邊形是的圓內接四邊形，

∴，

∴，

∵，

∴，

②過點作于，

由①知，，

設，則，

∴，，

∴，，

∴，

由①知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（舍）或，

∴，，

∴，

（3）如圖，設的半徑為，過點作于，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

連接，

∵是直徑，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴時，最大值為．