【題目】在如圖所示的平面直角坐標系中,△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱,如此作下去,則△B20A21B21的頂點A21的坐標是_____.
【答案】(41,)
【解析】
首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,可得A1的坐標為(1,),B1的坐標為(2,0);然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì),分別求出點A2、A3、A4的坐標各是多少;最后總結(jié)出An的坐標的規(guī)律,求出A2n+1的坐標是多少即可解決問題.
∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,
∴A1的坐標為(1,),B1的坐標為(2,0),
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱,
∴點A2與點A1關(guān)于點B1成中心對稱,
∵2×2-1=3,2×0-=-,
∴點A2的坐標是(3,-),
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱,
∴點A3與點A2關(guān)于點B2成中心對稱,
∵2×4-3=5,2×0-(-)=,
∴點A3的坐標是(5,),
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點B3成中心對稱,
∴點A4與點A3關(guān)于點B3成中心對稱,
∵2×6-5=7,2×0-=-,
∴點A4的坐標是(7,-),
…,
∵1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×3-1,…,
∴An的橫坐標是2n-1,A2n+1的橫坐標是2(2n+1)-1=4n+1,
∵當n為奇數(shù)時,An的縱坐標是,當n為偶數(shù)時,An的縱坐標是-,
∴頂點A2n+1的縱坐標是,
∴△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點A2n+1的坐標是(4n+1,),
∴△B20A21B21的頂點A21的坐標(41,).
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【題目】在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面內(nèi),以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE,則∠EBC的度數(shù)為 .
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【題目】如圖所示,四邊形是矩形,,。動點P、Q分別同時從A、C出發(fā),點P以3cm/s的速度向D移動,直到D為止,Q以2cm/s的速度向B移動.
(1)P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒后,四邊形ABQP的面積是矩形面積的?
(2)P、Q從開始出發(fā)幾秒后,?
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【題目】一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應值如下表:
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)求m的值;
(3)在給定的直角坐標系中,畫出這個函數(shù)的圖象;
(4)根據(jù)圖象,寫出當y<0時,x的取值范圍.
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【題目】一家用電器開發(fā)公司研制出一種新型電子產(chǎn)品,每件的生產(chǎn)成本為18元,按定價40元出售,每月可銷售20萬件為了增加銷量,公司決定采取降價的辦法,經(jīng)市場調(diào)研,每降價1元,月銷售量可增加2萬件.
求出月銷售量萬件與銷售單價元之間的函數(shù)關(guān)系式;
求出月銷售利潤萬元與銷售單價元之間的函數(shù)關(guān)系式;
若該月銷售利潤為480萬元,求此時的月銷售量和銷售單價各是多少元?
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【題目】閱讀下列例題的解答過程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.
解:設(shè) x﹣2=y,則原方程化為:3y2+7y+4=0.
∵a=3,b=7,c=4,∴b2﹣4ac=72﹣4×3×4=1.
∴y= =.∴y1=﹣1,y2=﹣ .
當 y=﹣1 時,x﹣2=﹣1,∴x=1;
當 y=﹣時,x﹣2=﹣,∴x= .
∴原方程的解為:x1=1,x2=.
(1)請仿照上面的例題解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;
(2)若(a2+b2)(a2+b2﹣2)=3,求代數(shù)式 a2+b2的值.
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【題目】綜合與實踐
如圖,為等腰直角三角形,,點為斜邊的中點,是直角三角形,.保持不動,將沿射線向左平移,平移過程中點始終在射線上,且保持直線于點,直線于點.
(1)如圖1,當點與點重合時,與的數(shù)量關(guān)系是__________.
(2)如圖2,當點在線段上時,猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并對你的猜想結(jié)果給予證明;
(3)如圖3,當點在的延長線上時,連接,若,則的長為__________.
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【題目】某校研究學生的課余愛好情況,采取抽樣調(diào)查的方法,從閱讀、運動、娛樂、上網(wǎng)等四個方面調(diào)查了若干名學生的興趣愛好,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名學生;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有1500名學生,估計愛好運動的學生有 人;
(4)在全校同學中隨機選取一名學生參加演講比賽,用頻率估計概率,則選出的恰好是愛好閱讀的學生的概率是 .
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【題目】(1)觀察猜想
如圖(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點.以點D為頂點作正方形DEFG,使點A,C分別在DG和DE上,連接AE,BG,則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____;
(2)拓展探究
將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于0°,小于或等于360°),如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請予以證明;如果不成立,請說明理由.
(3)解決問題
若BC=DE=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中,當AE為最大值時,直接寫出AF的值.
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