Question

【題目】(1)觀察猜想

如圖(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG，使點(diǎn)A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG，則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____；

(2)拓展探究

將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖2，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)解決問題

若BC=DE=2，在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，直接寫出AF的值．

　

Answer 1

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如圖②，

連接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大．

正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°時(shí)，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如圖②，連接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大．Z+X+X+K]

因?yàn)檎�方�?/span>DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑的圓，故當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF＝．