Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，延長(zhǎng)BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點(diǎn)F，連接MF交BD于點(diǎn)G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線(xiàn)段DG= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題（1）根據(jù)結(jié)論可以猜想：要想解決問(wèn)題需要把BD+2DE和BM轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中去，因此想到過(guò)點(diǎn)M作BM的垂線(xiàn)與BD 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明DE=PE即可證出結(jié)論；（2）由AB//CN可得：，所以DN=BM=2AB=2BC，又CM=2，所以BC=AD=CM=2，所以BD=，FD=，由AD//BM可得：，所以，因?yàn)?/span>BD=，所以DG=．

試題解析：（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作NPBM，交BD 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，所以∠BCD =90°，∠DBC=∠BDC=45°，

所以PM∥CN，所以∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，

所以∠DBC=∠MPB，所以BM=MP，又因?yàn)?/span>BM=DN，所以DN=MP，

又因?yàn)?/span>∠N=∠EMP，∠NED=∠MEP，所以△NDE≌△MPE，所以DE=EP

由勾股定理可得：BP=BM，即BD+2DE=BM

（2）DG=