Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A，C分別落在點(diǎn)A′、C′處，并且點(diǎn)A′，C′，B在同一條直線上，則tan∠ABA′的值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解： ∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=90°，C'D∥BC，
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AB=C'D，BC=B'C'=AD=2，
設(shè)AB=x，則AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，
∵C'D∥BC，
∴△AC'D∽△ABC，
∴C'D：BC=AD：DC，
即x：2=2：x+2，
解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ （小于0，不合題意，舍去），
∴AC'=2﹣C'D=2﹣（﹣1+ ）=3﹣
∴tan∠ABA′= = = ，
所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】利用矩形的性質(zhì)和解直角三角形對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．