Question

3．某公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100．
（1）求y與x的函數(shù)解析式；
（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；
（3）求當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，可以求得y與x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，和第一問中求得的y與x的函數(shù)解析式，可以求得該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；
（3）將第（2）問中的函數(shù)解析式化為頂點式，然后根據(jù)二次項系數(shù)和對稱軸和x的取值范圍可以確定當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大，最大利潤是多少元．

解答 解；（1）由題意可得，設y與x的函數(shù)解析式是：y=kx+b，
∵當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，
∴$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=80}\\{50k+b=100}\end{array}\right.$，
解得k=-2，b=200．
即y與x的函數(shù)解析式是：y=-2x+200（30≤x≤60）；
（2）由題意可得，
w=（x-30）（-2x+200）=-2x²+260x-6000，
即該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式是：w=-2x²+260x-6000；
（3）∵w=-2x²+260x-6000
∴w=-2（x-65）²+2450
∴當x＜65時，y隨x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴當x=60時，w取得最大值，此時w=-2（60-65）²+2450=2400（元），
即當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，最大利潤是2400元．

點評 本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是明確題意列出相應的函數(shù)解析式，可以將二次函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)函數(shù)圖象的性質解答問題．