Question

【題目】給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．

（1）以下四邊形中，是勾股四邊形的為 ．（填寫序號(hào)即可）

①矩形；②有一個(gè)角為直角的任意凸四邊形；③有一個(gè)角為60°的菱形．

（2）如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，∠DCB=30°，連接AD，DC，CE．

①求證：△BCE是等邊三角形；

②求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

【答案】（1）①②；（2）①證明見解析，②證明見解析

【解析】試題分析：（1）由勾股四邊形的定義和特殊四邊形的性質(zhì)，則可得出；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABC≌△DBE，從而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE為等邊三角形；②由①可得∠BCE=60°，從而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解決問題．

試題解析：

（1）①如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即：矩形是勾股四邊形，

②如圖，

∵∠B=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即：由一個(gè)角為直角的四邊形是勾股四邊形，

③有一個(gè)角為60°的菱形，鄰邊邊中沒有直角，所以不滿足勾股四邊形的定義，

故答案為①②，

（2）①∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60°到△DBE，

∴BC=BE，∠CBE=60°，

∵在△BCE中，

BC=BE，∠CBE=60°

∴△BCE是等邊三角形．

②∵△BCE是等邊三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，

在Rt△DCE中，有DC2+CE2=DE2，

∵DE=AC，BC=CE，

∴DC2+BC2=AC2，

∴四邊形ABCD是勾股四邊形．