【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,ABC=90°,AB=BC=4,B與AB、BC交于E、F,點(diǎn)P是弧EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PC,線段PC繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PD,連接CD,AD.

(1)求證:BPC∽△ADC;

(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足ADCB且是面積為12時(shí),求B的半徑;

(3)若B的半徑的為2,當(dāng)點(diǎn)P沿弧EF從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)PC與B相切時(shí),求點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)

【解析】

試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可知:BC:AC=PC:DC,PCD=ACB,從而可證明BCP=ACD,最后依據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可;

(2)如圖1所示:先求得ABC的面積,然后可得到ADC的面積,依據(jù)三角形的面積公式可得到AD的長(zhǎng),然后依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比例可求得PB的長(zhǎng);

(3)如圖2所示:由相似三角形的性質(zhì)可知:AD=2,于是可得到點(diǎn)D在以A為圓心,以2為半徑的圓上,然后根據(jù)點(diǎn)P在圓B的運(yùn)動(dòng)路線和確定點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑(。┧鶎(duì)的圓心角,最后依據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可.

試題解析:(1)∵∠ABC=90°,AB=BC,

∴∠ACB=45°,BC:AC=1:

PD=PC,DPC=90°,

∴∠PCD=45°,PC:DC=1:

BC:AC=PC:DC,PCD=ACB.

∴∠PCD﹣PCA=ACB﹣PCA,即BCP=ACD.

∴△BPC∽△ADC.

(2)如圖1所示:

AB=BC=4,ABC=90°,

SABC=ABBC=×4×4=8,

四邊形ABCD的面積為12,

SADC=4.

ADBC,

SADC=ADAB=4,即×4×AD=4.

AD=2.

∵△BPC∽△ADC,

,

解得BP=

∴⊙B的半徑為

(3)如圖2所示:

BP=2,由(2)可知AD:BP=:1,

AD=2

D在以A為圓心,以2為半徑的圓上.

∵△BPC∽△ADC,

∴∠PBC=DAC.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),PBC=90°.

∴∠DAC=90°.

當(dāng)點(diǎn)P′C與圓B相切時(shí),BP′C=90°,BP′=2,BC=4,

∴∠P′BC=60°.

span>∴∠D′AC=60°.

∴∠D′AD=90°﹣60°=30°.

點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)==

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若(m+3)x|m|2+5=0是關(guān)于x的一元一次方程,則m=_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】你能求(x﹣1)(x99+x98+x97+…+x+1)的值嗎?
遇到這樣的問(wèn)題,我們可以先思考一下,從簡(jiǎn)單的情形入手.先計(jì)算下列各式的值:
(1)(x﹣1)(x+1)=;
(2)(x﹣1)(x2+x+1)=;
(3)(x﹣1)(x3+x2+x+1)=;
由此我們可以得到(x﹣1)(x99+x98+…+x+1)=;
請(qǐng)你利用上面的結(jié)論,完成下面兩題的計(jì)算:
(1)299+298+…+2+1;
(2)(﹣3)50+(﹣3)49+…+(﹣3)+1.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B(﹣2,2),過(guò)反比例函數(shù)y=(x0,常數(shù)k0)圖象上一點(diǎn)A(﹣,m)作y軸的平行線交直線l:y=x+2于點(diǎn)C,且AC=AB.

(1)分別求出m、k的值,并寫出這個(gè)反比例函數(shù)解析式;

(2)發(fā)現(xiàn):過(guò)函數(shù)y=(x0)圖象上任意一點(diǎn)P,作y軸的平行線交直線l于點(diǎn)D,請(qǐng)直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系 ;

應(yīng)用:①如圖2,連接BD,當(dāng)PBD是等邊三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

②如圖3,分別過(guò)點(diǎn)P、D作y的垂線交y軸于點(diǎn)E、F,問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得矩形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知AB是O的直徑,C是O上的點(diǎn),且OEAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作O的切線,交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AD.(1)求證:AD是O的切線;

(2)若cosBAC=,AC=8,求線段AD的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】可樂(lè)和奶茶含有大量的咖啡因,世界衛(wèi)生組織建議青少年每天攝入的咖啡因不能超過(guò)0.000085kg,將數(shù)據(jù)0.000085用科學(xué)記數(shù)法表示為____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知x2+2x10,則3x2+6x2___

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某同學(xué)5次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)的成績(jī)分別為(單位:分):90,85,90,95100,則該同學(xué)這5次成績(jī)的眾數(shù)是( 。

A.90 B.85 C.95 D.100

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某小組7位學(xué)生的中考體育測(cè)試成績(jī)(滿分30分)依次為27,30,29,27,30,28,30.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A.30,27
B.30,29
C.29,30
D.30,28

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案