【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B(﹣2,2),過反比例函數(shù)y=(x0,常數(shù)k0)圖象上一點A(﹣,m)作y軸的平行線交直線l:y=x+2于點C,且AC=AB.

(1)分別求出m、k的值,并寫出這個反比例函數(shù)解析式;

(2)發(fā)現(xiàn):過函數(shù)y=(x0)圖象上任意一點P,作y軸的平行線交直線l于點D,請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系 ;

應(yīng)用:①如圖2,連接BD,當(dāng)PBD是等邊三角形時,求此時點P的坐標(biāo);

②如圖3,分別過點P、D作y的垂線交y軸于點E、F,問是否存在點P,使得矩形PEFD的周長取得最小值?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣(x0)(2)PB=PD(1﹣, +1);存在,(﹣1,2),4

【解析】

試題分析:(1)求出AC、AB的表達(dá)式,根據(jù)AC=AB求出m的值,然后利用待定系數(shù)法求出k的值即可;

(2)設(shè)P(﹣m,)(m0),則D(﹣m,﹣m+2),根據(jù)勾股定理求出PB的長即可;①由PBD是等邊三角形,于是得到PB=BD=PD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到(2﹣m)=+m﹣2)解得:m=3﹣,或m=﹣1,于是得到P(﹣3,)或P(1﹣, +1);②根據(jù)矩形的周長的計算公式得到矩形PEFD的周長=(2+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)AC=m﹣,AB=,

AC=AF,

m=4,

點A(﹣,4),

k=﹣2,

y=﹣(x0);

(2)設(shè)P(﹣m,)(m0),則D(m,m+2),

PD=﹣(﹣m+2)=+m﹣2,

BP==+m﹣2,

PD=PB;

故答案為:PB=PD;

∵△PBD是等邊三角形,

PB=BD=PD,

PDy軸,

(2﹣m)=+m﹣2)

+m﹣2=

m=3﹣,或m=﹣1,

P(1﹣, +1);

②答:存在滿足題設(shè)條件的點P.

設(shè)P(﹣m,)(m0),則D(﹣m,﹣m+2),

矩形PEFD的周長=2(PD+PE)=2(+m﹣2+m)=+4m﹣4=(2+4,

當(dāng)=0,即m=2時,P(﹣1,2)時,矩形PEFD的周長取得最小值為4.

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