Question

【題目】在中，，是邊上不同于、的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，連接．

試說(shuō)明不論點(diǎn)在邊上何處時(shí)，都有與相似；

若，，當(dāng)為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值；

在中，兩條直角邊、滿足關(guān)系式，是否存在一個(gè)的值，使既與全等，也與全等．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析；當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值是；存在．時(shí)，既與全等，也與全等．

【解析】

(1)無(wú)論P點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，∠B為公共角，且∠PQB=∠ACB=90°，故兩三角形恒相似；

(2)設(shè)，由可用含x的表達(dá)式分別表示PQ和AQ，再利用面積公式列出的表達(dá)式進(jìn)行求解即可；

(3)由可得，由可得，在RT△ABC中運(yùn)用勾股定理即可求解.

不論點(diǎn)在邊上何處時(shí)，都有

，

∴；

設(shè)，由勾股定理，得

∵由知，，

∴，即

∴，

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值是；

存在．

∵

∴

又∵

∴

∴

在中，由勾股定理得

∴

∴時(shí)，既與全等，也與全等．