Question

已知方程|x²-4|-a-1=0有4個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   a=0
2. B.
   -1＜a≤0
3. C.
   -1＜a＜3
4. D.
   a≥3

Answer 1

C
分析：先把方程變形為：|x²-4|=a+1，再根據(jù)方程有4個(gè)實(shí)根，則a+1＞0，即a＞-1；去絕對(duì)值得x²-4=±（a+1），然后討論當(dāng)x²-4=a+1時(shí)，此方程有兩個(gè)不等根；當(dāng)x²-4=-（a+1）時(shí)，即x²=-a+3，此方程要有兩個(gè)不等根，得到-a+3＞0．最后確定實(shí)數(shù)a的取值范圍
解答：方程變形為：|x²-4|=a+1，
∵方程|x²-4|=a+1有4個(gè)實(shí)根，
∴a+1＞0，即a＞-1．
∴x²-4=±（a+1）．
當(dāng)x²-4=a+1時(shí)，即x²=a+5，因?yàn)閍＞-1．所以此方程有兩個(gè)不等根；
當(dāng)x²-4=-（a+1）時(shí)，即x²=-a+3，此方程要有兩個(gè)不等根，所以-a+3＞0，解得a＜3．
方程|x²-4|-a-1=0有4個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1＜a＜3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了絕對(duì)值的含義以及運(yùn)用分類討論的思想解決絕對(duì)值方程的方法．