Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度???為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求NC，MC的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
（2）四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根據(jù)QN平分△ABC的周長(zhǎng)，得出MC+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來(lái)求出t的值．然后根據(jù)得出的t的值，求出△MNC的面積，即可判斷出△MNC的面積是否為△ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值．
（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)MP=MC時(shí)，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值．
②當(dāng)CM=CP時(shí)，可根據(jù)CM和CP的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來(lái)求出t的值．
③當(dāng)MP=PC時(shí)，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值．
綜上所述可得出符合條件的t的值．

解答：解：（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t．
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5．
在Rt△MNC中，cos∠NCM=

NC

MC

=

4

5

，CM=

5+5t

4

；

（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2．

（3）如果射線QN將△ABC的周長(zhǎng)平分，則有：
MC+NC=AM+BN+AB，
即：

5

4

（1+t）+1+t=

1

2

（3+4+5），
解得：t=

5

3

．（5分）
而MN=

3

4

NC=

3

4

（1+t），
∴S_△MNC=

1

2

×

3

4

（1+t）²=

3

8

（1+t）²，
當(dāng)t=

5

3

時(shí)，S_△MNC=

3

8

（1+t）²=

8

3

≠

1

2

×

1

2

×4×3．
∴不存在某一時(shí)刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分；

（4）①當(dāng)MP=MC時(shí)；則有：NP=NC，
即PC=2NC∴4-t=2（1+t），
解得：t=

2

3

；
②當(dāng)CM=CP時(shí)；則有：

5

4

（1+t）=4-t，
解得：t=

11

9

；
③當(dāng)PM=PC時(shí)；則有：在Rt△MNP中，PM²=MN²+PN²，
而MN=

3

4

NC=

3

4

（1+t），
PN=|PC-NC|=|（4-t）-（1+t）|=|3-2t|，
∴[

3

4

（1+t）]²+（3-2t）²=（4-t）²，
解得：t₁=

103

57

，t₂=-1（舍去）
∴當(dāng)t=

2

3

，t=

11

9

，t=

103

57

時(shí)，△PMC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)．考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．