Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．
（1）求證：EB=EF；
（2）延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由于△ADF為等邊三角形，∠DAB=90°，∠EAD=15°可知FAE=∠BAE=75°，AB=AF，易證△FAE≌△BAE，即EF=EB．
（2）連接EC，由于△ADF為等邊三角形，可知∠EFA=∠EFD=30度．由△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30度．∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，BE=BA=6．可知∠GEB=30°，由于∠ABC=60°，∠GBE=30°，GE=GB．
因?yàn)辄c(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，所以EG=CG，即△CEG為等邊三角形，故∠CEG=60°，∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°根據(jù)勾股定理可求出CE、BC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）
∵AE為公共邊
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EF=EB（5分）

（2）解：如圖，連接EC．（6分）
∵在等邊三角形△ADF中，
∴FD=FA，
∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分線，則∠EFA=∠EFD=30°．（7分）
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．
∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，
∴BE=BA=6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，
∴∠GEB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠GBE=30°
∴GE=GB．（8分）
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，
∴△CEG為等邊三角形，
∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC²=CE²+BE²
∴CE=2

3

，
∴BC=4

3

（10分）；

解法二：過C作CQ⊥AB于Q，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷

3

2

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，考查面較廣，涉及到等腰三角形，等邊三角形，勾股定理需同學(xué)們熟練掌握．