【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0)、B(0,3),C(1,0).

(1)求拋物線及直線AB的函數(shù)關(guān)系式;

(2)有兩動點(diǎn)D、E同時從O出發(fā),以每秒1個單位長度的相同的速度分別沿線段OA、OBA、B做勻速運(yùn)動,過DPD⊥OA分別交拋物線和直線ABP、Q,設(shè)運(yùn)動時間為t(0<t<3).

求線段PQ的長度的最大值;

連接PE,當(dāng)t為何值時,四邊形DOEP是正方形;

連接DE,在運(yùn)動過程中,是否存在這樣的t值,使PE=DE?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x22x+3;y=x+3;(2當(dāng)t=1時,PQ的長度有最大值,最大值為4;當(dāng)t為時,四邊形DOEP是正方形;存在.當(dāng)t=時,PE=DE

【解析】試題分析:(1)已知了拋物線上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)和直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo),直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線和直線的解析式;(2)①用t表示出線段PQ的長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;②OE=OD=PD時,四邊形四邊形DOEP是正方形,由此列出方程求解即可;③存作EHPD, 可得PD=2OE,由此列出方程解得t值即可.

試題解析:

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),

把B(0,3)代入得a3(﹣1)=3,解得a=﹣1,

拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1),

即y=﹣x2﹣2x+3;

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

把A(﹣3,0),B(0,3)代入得,解得,

直線AB的解析式為y=x+3;

(2)①∵D(﹣t,0),PD⊥x軸,

∴P(﹣t,﹣t2+2t+3),Q(-t,-t+3)

∴PQ=﹣t2+2t+3-(-t+3)=﹣t2+3t,

當(dāng)t=時,PQ的長度有最大值,最大值為;

②OE=OD=t,

∵PD∥OE,

PD=OE時,四邊形DOEP為平行四邊形,

而OE=OD,∠DOE=90°,

此時四邊形DOEP是正方形

即﹣t2+2t+3=t,解得t1=,t2= (舍去),

當(dāng)t=為時,四邊形DOEP是正方形;

存在.

作EHPD,如圖,

∵DE=PE,

∴PH=DH,

∴PD=2OE,

即﹣t2+2t+3=2t,解得t1=,t2=﹣(舍去),

當(dāng)t=時,PE=DE.

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3)將圖①中的三角板OMN繞點(diǎn)O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,在第____________秒時,直線MN恰好與直線CD垂直.(直接寫出結(jié)果)

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(1)求甲、乙兩地之間的距離.

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