【題目】如圖所示,二次函數(shù)y=ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過點A(0,1),B(﹣3, ),A點在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C.
(1)求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式;
(2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方),過N作NP⊥x軸,垂足為點P,交AB于點M,求MN的最大值;
(3)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方),是否存在點N,使得BM與NC相互垂直平分?若存在,求出所有滿足條件的N點的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x+1;y=﹣x2﹣x+1;(2)當m=﹣時,MN取最大值,最大值為;(3)存在點N,使得BM與NC相互垂直平分,點N的坐標為(﹣1,4)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知點的坐標利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)設點N的坐標為 則點M的坐標為
用含的代數(shù)式表示出來,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)假設存在,設點N的坐標為連接,當四邊形為菱形時, 與相互垂直平分,根據(jù)算出的值,從而得出點的坐標,再去驗證是否等于,由此即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)設直線AB的解析式為:y=kx+b,
∴
∴
∴直線AB的解析式為:
把代入 得,
∴二次函數(shù)的解析式為:
(2)設點N的坐標為 則點M的坐標為
∴當 時,MN取最大值,最大值為
(3)假設存在,設點N的坐標為連接BN、CM,如圖所示.
若要BM與NC相互垂直平分,只需四邊形BCMN為菱形即可。
∵點B坐標為 點C的坐標為(3,0),
∴BC=52.
∵四邊形BCMN為菱形,
解得:
當m=2時,點N的坐標為
故m=2(舍去);
當m=1時,點N的坐標為(1,4),
∴點N(1,4)符合題意.
故存在點N,使得BM與NC相互垂直平分,點N的坐標為(1,4).
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【題目】如圖,P是線段AB上一點,C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2 cm/s的速度沿直線AB向左運動(C在線段AP上,D在線段BP上)
(1)若C、D運動到任一時刻時,總有PD=2AC,請說明P點在線段AB上的位置:
(2)在(1)的條件下,Q是直線AB上一點,且AQ-BQ=PQ,求的值。
(3)在(1)的條件下,若C、D運動5秒后,恰好有,此時C點停止運動,D點繼續(xù)運動(D點在線段PB上),M、N分別是CD、PD的中點,下列結(jié)論:①PM-PN的值不變;②的值不變,可以說明,只有一個結(jié)論是正確的,請你找出正確的結(jié)論并求值.
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【題目】已知,點E在正方形的邊上(不與點B,C重合),是對角線,延長到點F,使,過點E作的垂線,垂足為G,連接,.
(1)根據(jù)題意補全圖形,并證明;
(2)①用等式表示線段與的數(shù)量關系,并證明;
②用等式表示線段,,之間的數(shù)量關系,并證明.
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【題目】已知:點C、A、D在同一條直線上,∠ABC=∠ADE=α,線段 BD、CE交于點M.
(1)如圖1,若AB=AC,AD=AE
①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關系?并說明理由;②求∠BMC的大。ㄓα表示);
(2)如圖2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE 則線段BD與CE的數(shù)量關系為 ,∠BMC= (用α表示);
(3)在(2)的條件下,把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°,在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),連接 EC并延長交BD于點M.則∠BMC= (用α表示).
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【題目】城市規(guī)劃期間,欲拆除一電線桿AB,已知距電線桿AB水平距離14 m的D處有一大壩,背水坡CD的坡度i=1∶2,壩高CF為2 m,在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°,D、E之間是寬為2 m的人行道.
(1)求BF的長;
(2)在拆除電線桿AB時,為確保行人安全,是否需要將此人行道封上?請說明理由.(在地面上,以點B為圓心,以AB長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域,≈1.732,≈1.414)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,OD⊥BC于點D,過點C作⊙O的切線,交OD的延長線于點E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設OE交⊙O于點F,若DF=1,BC=2,求陰影部分的面積.
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【題目】“數(shù)學運算”是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一,某校對七年級學生“數(shù)學運算能力”情況進行調(diào)研,從該校360名七年級學生中抽取了部分學生進行運算能力測試井進行分析,成績分為A、B、C三個層次,繪制了頻數(shù)分布表(如下),請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
(1)補全頻數(shù)分布;
(2)如果成績?yōu)?/span>A等級的同學屬于優(yōu)秀,請你估計該校七年級約有多少人達到優(yōu)秀水平?
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【題目】如圖,OC平分∠MON,P為OC上一點,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B,連接AB,得到以下結(jié)論:(1)PA=PB;(2)OA=OB;(3)OP與AB互相垂直平分;(4)OP平分∠APB,正確的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】問題情景:如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù).
(1)天天同學看過圖形后立即口答出:∠APC=110°,請你補全他的推理依據(jù).
如圖2,過點P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD.(___)
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.(___)
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(___)
問題遷移:
(2)如圖3,AD∥BC,當點P在A. B兩點之間運動時,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關系?請說明理由。
(3)在(2)的條件下,如果點P在A. B兩點外側(cè)運動時(點P與點A. B. O三點不重合),請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系.
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