Question

如圖，已知四邊形ABCD、DEFG均為正方形，
（1）求證：AE=CG，且AE⊥CG；
（2）若正方形ABCD、DEFG的邊長分別是3和2，∠ADG=30°，求四邊形ACEG的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△CDG≌△ADE，便可輕松得出結(jié)論；
（2）將S_△ACEG分解為S_△ADG、S_△ACD、S_△GDE、S_△CDE的面積來求．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD、GDEF為正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=DE

，
∴△CDG≌△ADE，（3分）
∴∠1=∠4，AE=CG，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．（5分）

（2）解：S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE，
過G作GH⊥AD于H，過E作EM⊥CD的延長線于M．
則在Rt△GHD中，GH=DG•sin30°=2×

1

2

=1，
∴S△ADG=

1

2

AD•GH=

1

2

×3×1，
S△ACD=

1

2

CD•AD=

1

2

×3×3=

9

2

，
S△GDE=

1

2

DG•DE=

1

2

×2×2=2，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED•sin30°=2×

1

2

=1，
S△CDE=

1

2

CD•EM=

1

2

×3×1=

3

2

．
S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE=9.5，（10分）
法2：設(shè)AE、CG相交于點O，過G作GH⊥CD交其延長線于H．
S_{四邊形ACEG}=S_△ACG+S_△CEG
=

1

2

CG•AO+

1

2

CG•EO
=

1

2

CG(AO+EO)=

1

2

CG•AE
=

1

2

CG2．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
則DH=

1

2

DG=1，GH=

3

，
∴CH=4．
Rt△CHG中，CG2=CH2+GH2=42+

3

2=19，
∴S四邊形ACEG=

19

2

．

點評：此題考查了全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是觀察出△CDG和△ADE的兩個對應(yīng)邊分別為正方形ABCD、GDEF的邊，從而證出兩個三角形全等．