Question

如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規(guī)律．

（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有

4

個．第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有

20

個．
（2）設(shè)第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)為M，請用含字母n的代數(shù)式表示M；
（3）求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4=20個；
（2）根據(jù)所給圖形中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)得到第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)與4的倍數(shù)的關(guān)系即可；
（3）根據(jù)（2）得到的規(guī)律，進行計算即可．

解答：解：（1）觀察圖形可得第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4=20個故答案為：4      20     …（4分）
（2）觀察圖形可知：圖①中，兩面涂色的小立方體共有4個；
圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個；
圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個．
4，12，20都是4的倍數(shù)，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n個圖中兩面涂色的小立方體共有4（2n-1）=8n-4，
∴M=8n-4   （n為正整數(shù)）…（8分）
（3）（8×1-4）+（8×2-4）+（8×3-4）+（8×4-4）+（8×5-4）+…+（8×100-4）
=8（1+2+3+4+…+100）-100×4=40000
故前100個圖形的點數(shù)和為40000．…（12分）

點評：考查圖形的變化規(guī)律；得到所求塊數(shù)與4的倍數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．