Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），且當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限．

（1）求二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的表達(dá)式；
（2）連接AB，求AB的長(zhǎng)；
（3）連接AC，M是線段AC的中點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即（0，c）．

由當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，得（5，c）．

將（5，c）（1，0）代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ．

故拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：聯(lián)立拋物線與直線，得

，

解得 ， ，

即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得

AB= =

（3）

解：如圖：

，

四邊形ABCN是平行四邊形，

證明：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，

∴AM=CM．

∵點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，

∴BM=MN，

∴四邊形ABCN是平行四邊形

【解析】（1）根據(jù)當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（5，c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．