(2010•順義區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為反比例函數(shù)(x>0)的圖象上兩點(diǎn),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1,將(x>0)的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′.
(1)求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式;
(2)求A′、B′點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接AB′、動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB'以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B′運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從B′點(diǎn)出發(fā)沿線段B′A′以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,試探究:是否存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值,若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)首先把x=1代入反比例函數(shù)(x>0)的解析式,求出對(duì)應(yīng)的y值,得到A點(diǎn)坐標(biāo),然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOA′=90°,OA=OA′,如果分別過(guò)A、A′作AM⊥y軸于M,A′N⊥x軸于N,連接OA,OA′,易證△OAM≌△OA′N,得到A′的坐標(biāo),從而求出旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式;
(2)上問(wèn)已經(jīng)求出A′的坐標(biāo),同樣求出點(diǎn)B′的坐標(biāo);
(3)首先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式,由斜率k的值可知∠A′B′A=45°.然后假設(shè)存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值,那么分兩種情況討論:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.針對(duì)每一種情況,都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程,從而求出結(jié)果.
解答:解:(1)∵A為反比例函數(shù)(x>0)的圖象上的點(diǎn),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).
分別過(guò)A、A′作AM⊥y軸于M,A′N⊥x軸于N,連接OA,OA′.
∵將(x>0)的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',
∴∠AOA′=90°,OA=OA′.
在△OAM與△OA′N中,∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON,∠AMO=∠A′NO=90°,OA=OA′,
∴△OAM≌△OA′N,
∴OM=ON=4,AM=A′N=1,
∴A′的坐標(biāo)為(4,-1),
∴旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式為y=-

(2)∵B為反比例函數(shù)(x>0)的圖象上兩點(diǎn),B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,
∴B(4,1),
又∵將(x>0)的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',
上問(wèn)求出A點(diǎn)坐標(biāo)(1,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4,-1),
同理求出B點(diǎn)坐標(biāo)(4,1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(1,-4);

(3)設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b,
則4k+b=-1,k+b=-4,
解得k=1,b=-5,
∴y=x-5,
∴∠A′B′A=45°.
如果△MNB'為等腰直角三角形,那么分兩種情況:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.
∵AM=B′N=t,∴B′M=AB′-AM=8-t.
①當(dāng)∠B′NM=90°時(shí),B′M=B′N,
∴8-t=t,解得t=8-8;
②當(dāng)∠B′MN=90°時(shí),B′N=B′M,
∴t=(8-t),解得t=16-8
∵A′B′==3,AB′=8,
∴0≤t≤3
又∵16-8>3,
∴t=16-8舍去.
故當(dāng)t=8-8時(shí),△MNB'為等腰直角三角形.
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了反比例函數(shù)、等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).要注意(3)首先需根據(jù)已知條件確定哪些角可能是直角,要考慮到所有的情況,不要漏解.此題難度稍大,綜合性比較強(qiáng),注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用.
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4
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(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使CP+DP的值最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將拋物線y=x2+bx+c左右平移,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,當(dāng)四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)最小時(shí),求拋物線的解析式及此時(shí)四邊形A′B′DC周長(zhǎng)的最小值.

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