Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式，并判斷的形狀；

（2）在此拋物線上是否存在點(diǎn),使得以

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由.

Answer 1

解：根據(jù)題意，將A（,0）,B（2,0）代入y=-x²+ax+b中，

得 解之，得 全所以拋物線的解析式為y=-x²+x+1.

當(dāng)x=0時，y=1.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）。

所以在△AOC中，AC==.

在△BOC中，BC==.

AB=OA+OB=.

因?yàn)锳C²+BC²=.

所以△ABC是直角三角形。

（2）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

① 若以BC為底邊，則BC∥AP,如圖（1）所示，

可求得直線BC的解析式為.

直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，

所以設(shè)直線AP的解析式為，

將A（,0）代入直線AP的解析式求得b=,

所以直線AP的解析式為.

因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，

所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x²+x+1=.

解得（不合題意，舍去）.

當(dāng)x=時，y=.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）.

② 若以AC為底邊，則BP∥AC，如圖（2）所示，

可求得直線AC的解析式為.

直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線BP的解析式為，

將B（2,0）代入直線BP的解析式求得b=-4,所以直線BP的解析式為y=2x-4.

因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x²+x+1=2x-4

解得（不合題意，舍去）.

當(dāng)x=-時，y=-9.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-9）.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（-，-9）