【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有一根為零時(shí),直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+的圖象交于A、B兩點(diǎn),若M是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN⊥x軸,交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N,求線段MN的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)將(2)中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,圖象的其余部分保持不變,翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個(gè)“W”形狀的新圖象,若直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn),求b的值.
【答案】(1)k為1,2;
(2)M的坐標(biāo)為(-,);
(3)b=1或b=.
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)一元二次方程根的情況利用判別式與0的關(guān)系可以求出k的值;
(2)利用m先表示出M與N的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出MN的長度,根據(jù)二次函數(shù)的極值即可求出MN的最大長度和M的坐標(biāo);
(3)根據(jù)圖象的特點(diǎn),分兩種情況討論,分別求出b的值即可.
試題解析:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
∴.
∴k﹣1<2.
∴k<3.
∵k為正整數(shù),
∴k為1,2.
(2)把x=0代入方程得k=1,此時(shí)二次函數(shù)為y=x2+2x,
此時(shí)直線y=x+2與二次函數(shù)y=x2+2x的交點(diǎn)為A(﹣2,0),B(1,3)
由題意可設(shè)M(m,m+2),其中﹣2<m<1,則N(m,m2+2m),
MN=m+2﹣(m2+2m)=﹣m2﹣m+2=﹣.
∴當(dāng)m=﹣時(shí),MN的長度最大值為.
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).
(3)當(dāng)y=x+b過點(diǎn)A時(shí),直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)(如圖2所示),
把A(﹣2,0)代入y=x+b得b=1,
當(dāng)y=x+b與新圖象的封閉部分有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn).
由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對稱,所以其解析式為y=﹣x2﹣2x
∴有一組解,此時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
則所以b=,綜上所述b=1或b=.
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這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形.若OA:OC-=0B:OD,
則下列結(jié)論中一定正確的是 ( )
A. ①與②相似 B. ①與③相似
C. ①與④相似 D. ②與④相似
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【題目】一次函數(shù)y=2x+2與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象都過點(diǎn)A(1,m),y=2x+2的圖象與x軸交于B點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)C(0,﹣2)是y軸上一點(diǎn),若四邊形ABCD是平行四邊形,直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),并判斷D點(diǎn)是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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【題目】如圖1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,點(diǎn)B、C、G在同一條直線上,M是線段AE的中點(diǎn),DM的延長線交EF于點(diǎn)N,連接FM,易證:DM=FM,DM⊥FM(無需寫證明過程)
(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上,DM的延長線交EG于點(diǎn)N,其余條件不變,試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請寫出猜想,并給予證明;
(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,DM的延長線交CE的延長線于點(diǎn)N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請直接寫出猜想.
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