Question

【題目】正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連結(jié)DF，BF，如圖．
（1）若α=0°，則DF=BF，請(qǐng)加以證明；
（2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；
（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，

∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，

∴DG=BE，

在△DGF和△BEF中，

，

∴△DGF≌△BEF（SAS），

∴DF=BF

（2）解：圖形（即反例）如圖2，

（3）解：補(bǔ)充一個(gè)條件為：點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)；

即：若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角α=0°

【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明△DGF≌△BEF即可；（2）當(dāng)α=180°時(shí)，DF=BF．（3）利用正方形的性質(zhì)和△DGF≌△BEF的性質(zhì)即可證得是真命題．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和命題與定理，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題；經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理即可以解答此題．