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【題目】如圖,在△ABC中,P,Q分別是BC,AC上的點,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為R,S,若AQ=PQ,PR=PS,則下列四個結論:①PA平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP,其中結論正確的序號為(

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

【答案】D
【解析】解:∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,
∴點P在∠A的平分線上,∠ARP=∠ASP=90°,
∴∠SAP=∠RAP,
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2﹣PR2 , AS2=AP2﹣PS2 ,
∵AP=AP,PR=PS,
∴AR=AS,∴②正確;
∵AQ=QP,
∴∠QAP=∠QPA,
∵∠QAP=∠BAP,
∴∠QPA=∠BAP,
∴QP∥AR,∴③正確;
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠CAB=60°,AB=AC,
∵∠QAP=∠BAP,
∴BP=CP,
∵QP∥AB,
∴∠QPC=∠B=60°=∠C,
∴PQ=CQ,
∴△PQC是等邊三角形,
∴PQ=CP=BP,∠SQP=60°=∠B,
∵PR⊥AB,PS⊥AC,
∴∠BRP=∠PSQ=90°,
在△BRP和△QSP中,

∴△BRP≌△QSP,∴④正確;
連接RS,

∵PR=PS,
∴點P在RS的垂直平分線上,
∵AS=AR,
∴點A在RS的垂直平分線上,
∴AP垂直平分RS,∴①正確.
故答案為:①②③④.
根據角平分線性質即可推出②,根據勾股定理即可推出AR=AS,根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根據平行線判定推出QP∥AB即可;求出PQ=CP=BP,根據AAS推出△BRP≌△QSP即可,然后根據線段垂直平分線的判定即可得到AP垂直平分RS.

練習冊系列答案
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