【題目】已知正方形ABCD中,E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過(guò)E點(diǎn)作EFBDBCF,連接DF,GDF中點(diǎn),連接EG,CG.

(1)求證:EG=CG;

(2)將圖①中BEFB點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.

問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)度的一半即可證明;

(2)延長(zhǎng)EG、AD交于P點(diǎn),連接CE、CP,先證明△EGF≌△DGP,再證明△BEC≌△DPC,從而得到△ECP是等腰直角三角形,由△EGF≌△DGP可得GEP中點(diǎn),故可證明結(jié)論仍然成立.

證明:(1)∵Rt△DEF中,EG是斜邊上的中線

∴DF=2EG

Rt△DCF中,CG是斜邊上的中線

∴DF=2CG

∴EG=CG

(2)如圖2

延長(zhǎng)EG,AD交于P點(diǎn),連接CE,CP

四邊形ABCD是正方形

∴BC=CD,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,∠ABD=45°

∵EF⊥AB

∴∠ABD=∠EFB=45°

∴EF=BE

∵AD⊥AB,EF⊥AB

∴EF∥AD

∴∠DPE=∠PEF,且DG=GF,∠EGF=DGP

∴△EGF≌△DGP

∴EG=GP,EF=DP

∴BE=DPBC=CD,∠EBC=∠PDC=90°

∴△BEC≌△DPC

∴EC=PC,∠ECB=∠ECP

∵∠ECB+∠ECD=90°

∴∠DCP+∠ECD=90°

∴∠ECP=90°EC=CP

∴△ECP是等腰直角三角形,且EG=GP

∴CG⊥EP,CG=EG.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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